数学从入门到精通:二次函数与十字相乘法

数学 从入门到精通

前言

想要好好学数学,发现自己初中知识可能都记不清了,重新在B站上找到了一个《高中数学基础与解法全集》

数学学习路径

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graph LR
数学-.函数.->二次函数-.解法.->十字相乘法

十字相乘法

这是初高中衔接的基础。 $y=ax^2+bx+c$ 其中 $a,b,c$ 必须都是整数。(即分数不行)

例子 $y=x^2-3x+2$ 解 1 -1 1 -2 中间十字交叉连起来 第一列两个1是$X^2$来的($x^2=xx$) 第二列的1和2是$c$来的,这题中的$c=2$,2可以拆分成$12$或是$-1*-2$

拆分的逻辑: 通过把$c$拆分成$c1*c2$的形式来凑出$b$ 具体见下文

十字连好了接下来就是相乘 把第一行的1与-2相乘得$1*-2=-2$ 把第二行的1与-1相乘得$1*-1=-1$ 接着把两个结果相加$-2+(-1)=-3=b$ $b$被凑出来了 到这步十字相乘就对了 最终可以横向写出化简后的式子 第一列的1重新乘x 第一行的1加-1乘以第二行的1加-2 $(1x)+-1(1x)+-2=(x-1)(x-2)$ 完成

二次函数的性质

$y=ax^2+bx+c$

在坐标轴上$y=ax^2+bx+c$是一个U形曲线,要么开口朝上要么开口朝下。 $a$的±决定着开口朝向+朝上-朝下。

$\Delta=b^2-4ac$ $\Delta$是曲线中点在Y轴上的位置 $\Delta>0$函数在X轴(y=0)上有两个点$x_1,x_2$ $\Delta=0$函数在X轴(y=0)上有一个点$x_1=x_2$ $\Delta<0$函数在X轴(y=0)上没有点,不与X轴相交

$\Delta$怎么来的? $b^2-4ac$根据一般式$ax^2+bx+c=0$配方得来: $b^2-4ac$的具体推导过程: $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 两边都除以a 得$x^2+b/aX+c/a=0$ 再配方 得$x^2+b/aX+(b/2a)^2=-c/a+(b/2a)^2$ $x+b/2a)^2=b²-4ac/4a^2$ 如果$b²-4ac$大于等于0 $x=-b$±根号下$b^2-4ac/2a$

函数曲线的对称轴是 $x=-\frac{b}{2a}$

一元二次函数万能公式

在德语里叫Mitternacht Formel $x_1,_2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

韦达定理

在跟很难求的时候用。 前提:$\Delta>0$(要有$x_1,x_2$) $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ $x_1x_2=\frac{c}{a}$

二次函数不等式

图形判断,看开口在哪。 $a$的±决定着开口朝向+朝上-朝下。

以上第一课相关练习题和答案

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