数学从入门到精通：二次函数与十字相乘法

数学 从入门到精通

前言

想要好好学数学，发现自己初中知识可能都记不清了，重新在B站上找到了一个《高中数学基础与解法全集》

数学学习路径

graph LR
数学-.函数.->二次函数-.解法.->十字相乘法

十字相乘法

这是初高中衔接的基础。
$y=ax^2+bx+c$
其中 $a,b,c$ 必须都是整数。（即分数不行）

例子
$y=x^2-3x+2$
解
1 -1
1 -2
中间十字交叉连起来
第一列两个1是$X^2$来的（$x^2=xx$）
第二列的1和2是$c$来的，这题中的$c=2$，2可以拆分成$12$或是$-1*-2$

拆分的逻辑： 通过把$c$拆分成$c1*c2$的形式来凑出$b$
具体见下文

十字连好了接下来就是相乘
把第一行的1与-2相乘得$1*-2=-2$
把第二行的1与-1相乘得$1*-1=-1$
接着把两个结果相加$-2+(-1)=-3=b$
$b$被凑出来了
到这步十字相乘就对了
最终可以横向写出化简后的式子
第一列的1重新乘x
第一行的1加-1乘以第二行的1加-2
$(1x)+-1(1x)+-2=(x-1)(x-2)$
完成

二次函数的性质

$y=ax^2+bx+c$

在坐标轴上$y=ax^2+bx+c$是一个U形曲线，要么开口朝上要么开口朝下。
$a$的±决定着开口朝向+朝上-朝下。

$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta$是曲线中点在Y轴上的位置
$\Delta>0$函数在X轴（y=0）上有两个点$x_1,x_2$
$\Delta=0$函数在X轴（y=0）上有一个点$x_1=x_2$
$\Delta<0$函数在X轴（y=0）上没有点，不与X轴相交

$\Delta$怎么来的？
$b^2-4ac$根据一般式$ax^2+bx+c=0$配方得来：
$b^2-4ac$的具体推导过程：
$ax^2+bx+c=0(a≠0)$
两边都除以a
得$x^2+b/aX+c/a=0$
再配方
得$x^2+b/aX+（b/2a）^2=-c/a+（b/2a）^2$
$x+b/2a）^2=b²-4ac/4a^2$
如果$b²-4ac$大于等于0
$x=-b$±根号下$b^2-4ac/2a$

函数曲线的对称轴是 $x=-\frac{b}{2a}$

一元二次函数万能公式

在德语里叫Mitternacht Formel
$x_1,_2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

韦达定理

在跟很难求的时候用。
前提：$\Delta>0$(要有$x_1,x_2$)
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
$x_1x_2=\frac{c}{a}$

二次函数不等式

图形判断，看开口在哪。
$a$的±决定着开口朝向+朝上-朝下。

以上第一课相关练习题和答案